Исследователи полагают, что он сопровождал короля Оттона I Великого во время похода в Италию (осень 961 г. – январь 962 г.), присутствовал на его императорской коронации в Риме (2 февраля 962 г.). 21 февраля 962 г. в Риньяно-Фламинио в Италии император Оттон I Великий передал Конраду два земельных владения в области Брайсгау, конфискованные в 952 г. у графа Гунтрама. После смерти Конрада эти земли должны были перейти соборному капитулу Констанца «ради спасения души императора и его родителей». По мнению Г. Альтхофаи Х. Маурера, диплом косвенно свидетельствует о том, что между императором и Конрадом был заключён договор о взаимном поминовении. В конце лета 972 г. император вместе с сыном (впоследствии король и император Оттон II; 955–983 гг.), возвращаясь из итальянского похода, посетил Констанц и 18 августа подтвердил дипломом права и привилегии монастыря Райнау (близ Констанца). В преамбуле документа говорится, что Оттон I Великий сделал это по прошению Конрада («cuius petitioni assensum prebentes»). Поскольку в грамоте дарения монастырю вместо имени аббата стоит имя Конрада, исследователи полагают, что имперское аббатство Райнау находилось во владении Констанцского епископа; речь могла идти о знаке милости правителя к Конраду. В грамоте от 1 ноября 972 г. Конрад упомянут в числе лиц, подавших прошение Оттону I Великому о предоставлении иммунитета монастырю Оттобойрен в Верхней Баварии. О деятельности Конрада, направленной на обустройство Констанцского епископства, исследователям известно довольно много. Особым попечением епископа пользовались церковь святого Стефана и соборный капитул в Констанце. Конрад делал щедрые дарения капитулу, в том числе из земельных владений Вельфов. В конце 934 – начале 935 гг. епископ передал капитулу доходы со значительной части своих владений. Согласно Житию, Конрад даровал кафедральному собору Пресвятой Девы Марии мощи святых (в их числе были привезённые из Рима останки святых Патрикия и Метеллия (не идентифицированны)), которые, по мнению исследователей, были помещены в реликварий из золота, украшенный драгоценными камнями. Конрад принимал деятельное участие в городском строительстве. Он возвёл в Констанце четыре церкви, которые должны были символизировать четыре великие (так называемые патриаршие) римские базилики: между кафедральным собором и рекой Рейн была возведена церковь святого Иоанна (её святыми покровителями почитались святой Иоанн Предтеча и апостол Иоанн Богослов, как и в Латеранской базилике в Риме); на другом берегу реки – церковь святого апостола Петра (не сохранилась; в настоящее время на её месте находится монастырь Петерсхаузен), а за пределами городских стен, по дороге в Тургау, заложена церковь святого апостола Павла (она соотносилась с римской церковь. Сан-Паоло-фуори-ле-Мура). Вернувшись из второго путешествия в Иерусалим (согласно Житию, Конрад совершил три паломничества на Святую землю), епископ приказал построить церковь в честь святого Маврикия, куда были помещены привезённые им мощи святого. Церковь имела форму ротонды и была построена по образцу Кувуклии Гроба Господня (Воскресения Христова) храма в Иерусалиме. При Конраде в Констанце велись также работы по обновлению старых церквей.