Аристотель в «Физике» формулировал содержание аргумента так: «...Самое медленное (существо) никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то (расстояние) опережать преследующего». В наглядной форме этот аргумент Зенона Элейского может быть представлен следующим образом: предполагается, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи, и при старте разница между ними составляет 100 метров. Для того чтобы выиграть гонку, Ахиллес должен, прежде всего, преодолеть первоначальное расстояние в 100 метров и оказаться в той точке, откуда стартовала черепаха. Однако пока он делает это, черепаха успела продвинуться вперед на 10 метров. Пока Ахиллес бежит эти 10 метров, черепаха прошла 1 метр; пока Ахиллес преодолевает этот метр, черепаха продвигается на 1/10 метра, и так до бесконечности. Согласно выводу Зенона Элейского, Ахиллес никогда не догонит черепаху, поскольку у неё всегда будет преимущество, сколь бы незначительным оно ни было. Наиболее распространённым и традиционным решением этого парадокса Зенона Элейского является указание на то, что «он основывается на математическом заблуждении». Если рассматривать промежутки длины, которые необходимо пройти Ахиллесу в соответствии с изложенной выше версией парадокса, то полный ряд расстояний будет иметь вид: 100+10+1+1/10+... Это – сходящийся геометрический ряд, сумма которого может быть представлена в десятичной записи как 111,1... а точно составляет 1111/9. Такое же рассуждение применимо и ко времени, необходимому Ахиллесу, чтобы догнать черепаху. Если предположить, что Ахиллес пробегает 100 метров за 10 секунд, то число секунд, которые ему потребуются для того, чтобы догнать черепаху, составляет 10+1+1/10+1/100+... Это также сходящийся геометрический ряд, сумма которого в десятичном выражении равна 11,11... а точно составляет 111/9. Из этого очевидно, что существует точное время и место встречи Ахиллеса и черепахи. Таким образом, Зенон Элейский ошибался, будучи не способным увидеть, что для бесконечной последовательности шагов, которые нужно сделать Ахиллесу, требуется конечное время и конечное расстояние. Рассуждение Зенона Элейского по существу свидетельствует лишь о том тривиальном факте, что до момента встречи Ахиллеса с черепахой Ахиллес действительно всегда будет позади черепахи. При этом суть парадокса у Зенона Элейского состоит в постулировании, что Ахиллес будет позади черепахи вообще всегда, а это заключение, исходя из приведённой аргументации, представляется неверным. Однако при всей строгости традиционного решения оно говорит лишь, где и когда встретятся Ахиллес и черепаха, если они встретятся. При этом оно не способно доказать, что Зенон Элейский ошибался, полагая, что они вообще не могут встретиться. Парадоксальность состоит в том, что невозможно выполнить сложение бесконечного числа членов ряда так же, как выполняется сложение конечного числа членов ряда. Если в первом случае производится конечное число актов сложения, то во втором – устанавливается предел, т.е. постулируется, что чем большее число членов числового ряда берётся, тем меньшим будет различие между суммой конечного числа взятых членов и предельным числом 1111/9.