Изучил и издал многие Жития святых, в том числе Иоанна Лествичника (1968 г.), Петра Коришского (1970 г.), Георгия Нового (1976 г.), сборник сочинений книжников XIV в. с переводом на современный язык (1986 г.), древнейшая служба Савве I Сербскому (1980 г.), Карейский (1986 г.) и Хиландарский (1995 г.) типики этого святителя и ряд других памятников. Ученик и последователь протоиерея Владимира Алексеевича Мошина (1894–1987 гг.), Димитрий Богданович описывал, исследовал и издавал средневековые славянские рукописи (в первую очередь, сербские), разработал методику описания рукописных книг (1968 г.), составившую основу практики современных сербских археографов, и правила критического их издания (1974 г.). В 1978 г. Димитрий Богданович издал описание крупнейшей коллекции славянских рукописей собрания монастыря Хиландар, снабжённое обширным введением и палеографическим альбомом, в 1980 г. – инвентарь хранящихся в Югославии кириллических рукописей XI–XVII вв., включающий сведения о 2222 ныне существующих книгах и о 850 памятниках, погибших или пропавших во время Второй мировой войны. В 1986 г. под его редакцией было опубликовано описание рукописей нового (послевоенного) собрания Народной библиотеки Сербии, один из самых подробных и информативных справочников подобного рода в современной археографии. В 1989 г. уже посмертно вышло (на английском языке) описание славянских рукописей афонской Великой лавры, подготовленное Димитрием Богдановичем совместно с М. Матеичем. Димитрию Богдановичу также принадлежат многочисленные работы по теоретической и прикладной палеографии, истории книгописания, книжных школ и центров, средневековых библиотек, исследования о взаимоотношении письма и оформления кодексов и т.п. Особое место среди них занимает доклад на конференции CIBAL в Софии в 1982 г., посвящённый истории развития кириллического письма в Сербии до XV в. – своеобразная и многообещающая заявка на исследование по ранней сербской палеографии, в полном объёме оставшееся нереализованным. Димитрий Богданович перевёл на сербский язык «Житие Петра Великого» Захарии Орфелина (1970 г.), «Слово похвальное св. кн. Лазарю» (1973 г.), «Поэтику древнерусской литературы» Дмитрия Сергеевича Лихачёва (1972 г.; со вступительной статьёй Димитрия Богдановича). Совместно с В.А. Мошиным подготовил критическое издание Нового Завета в переводе Вука Стефановича Караджича.